Volume de Controle - Empuxo Motor Foguete
O motor foguete é uma máquina que transforma a energia da queima de combustível em força de tração expelindo gases em altas temperaturas. O processo para essa transformação é pela transformação da energia térmica, resultante da queima, em energia cinética dos gases.
Para estudar esse processo pode-se aplicar as equações de volume de controle em um motor foguete pra aplicar as leis de conservação. Vamos considerar o esquema simplificado de um motor foguete mostrado na figura.
As seguintes hipóteses podem ser aplicadas
- Velocidades na câmara de combustão são desprezíveis
- Propriedades na câmara e no bocal são constantes
- Taxa de queima conhecida
Na saída do motor o fluxo de gás tem uma temperatura Te, uma pressão Pe e uma velocidade Ve, todas as propriedades uniformes .
Conservação da Massa
A primeira lei de conservação que vamos aplicar é a conservação da massa. O volume de controla que vamos definir é um cilindro que envolve todo o motor e tem uma das bases no plano da saida do bocal e diâmetro suficiente para envolver todo o motor, como mostra a figura.
Se considerarmos que o motor é de propelente sólido, a massa do motor será queimada com o tempo e logo, irá reduzir com o tempo, logo não podemos considerar a derivada da massa. Porém sabemos que essa taxa de redução da massa é a taxa de queima, logo
\( 0 = \frac{d}{dt} \int_{VC} \rho dV + \int_{SC} \rho \vec{V} \cdot d\vec{s} = \dot{M} + V_e \rho_e A_e\)
Logo
\( \dot{M} = - V_e \rho_e A_e\)
Logo, sabendo a temperatura e a pressão na saída, pode-se calcular a taxa de queima do propelente
Conservação da Quantidade de Movimento
A segunda lei que vamos aplicar é a lei da quantidade de movimento. Dessa forma podemos calcular as forças envolvidas no problema. Para simplificar a visualização, podemos aqui considerar que o motor está em um teste estático, logo está preso ao solo e a força que a estrutura exerce para segurar o motor é igual à tração que o mesmo produz e tem sinal Fx na equação.
Logo a lei de conservação fica
\( F_x - \int_{SC} P d\vec{s} = \frac{d}{dt} \int_{VC} \vec{V} \rho dV + \int_{SC} \vec{V} \rho \vec{V} \cdot d\vec{s} \)
Vale lembrar que a força de pressão aqui é do meio aplicando no sistema, logo o sentido é contrário à superfície do volume de controle. O lado esquerdo da equação significa que a tração total que o motor irá desenvolver é o resultado do aumento da quantidade de movimento dos gases expelidos e da força de pressão resultante do processo. Logo a força Fx tem 3 componentes mostrada na equação
\( Fx = \frac{d}{dt} \int_{VC} \vec{V} \rho dV + \int_{SC} \vec{V} \rho \vec{V} \cdot d\vec{s} + \int_{SC} P d\vec{s} \)
onde podemos analisar dada integral isoladamente.
Ao contrário do caso da conservação da massa, aqui a quantidade de movimento do sistema irá se manter constante, visto que pelo período de estudo a velocidade dos gases na câmara de combustão é desprezível e os campos de propriedades no bocal podemos considerar constante.
Logo o primeiro termo é
\( \frac{d}{dt} \int_{VC} \vec{V} \rho dV =0 \)
O segundo termo, a integral da convecção das propriedades, tem apenas fluxo de gases pela superfície de controle na área de escape (Ae), logo a integral resulta em
\( \int_{SC} \vec{V} \rho \vec{V} \cdot d\vec{s} = V_e^2 \rho_e A_e \)
Da conservação da massa podemos escrever
\( \int_{SC} \vec{V} \rho \vec{V} \cdot d\vec{s} = -\dot{M} V_e \)
O terceiro termo, relativo à força de pressão, é o resultado da pressão atmosférica sendo aplicada na superfície cilindrica, com resultante zero, e nas bases, onde a esquerda está sujeita a pressão atmosférica e a esquerda Pe. As duas áreas são paralelas e onde o balanço de forças é diferente de zero tem área Ae, independente da geometria. Como a integral não é mais negativa pois trocou para o lado direito, a força relativa á base direita irá contribuir para aumentar Fx e a base esquerda para reduzir, logo
\( \int_{SC} P d\vec{s} = (P_e - P_{atm}) A_e\)
Dessa forma a força Fx, que tem a mesma intensidade da força de tração resulta em
\( F_x = A_e(P_e - P_{atm}) - V_e \dot{M} \)
Lembrando que a taxa de queima resulta em uma vazão em massa negativa.
Conclusão
A força de tração desenvolvida pelo motor foguete é a contribuição da quantidade de movimento dos gases expelidos pelo bocal e da força de pressão devido a diferença de pressão entre a saída do bocal e a atmosférica.