Espaço do professor Rafael Gigena Cuenca

Descrição

A figura apresenta a representação simpificada de uma hélice para estudo de seu desempenho. Desse estudo a hélice é simplificada para um plano circular, de diâmetro D e área A, chamado de disco atuador e a sua borda é delimitada pelas linhas de corrente que formam um tubo que contém a massa de ar que passa pela hélice. A hélice se desloca para a esquerda com velocidade V e no extremo exquerdo a velocidade do ar que passou pelo disco é V+ΔV.

Abaixo da figura está representado o comportamento da pressão. A hélice promove uma redução da pressão logo a frente e um aumento logo atrás, assim resulta em uma diferença de pressão ΔP. A força promovida pelo disco atuador pode ser entendida como uma força devido a essa diferença de pressão aplicada em sua área.

Equação da conservação da massa

Vamos denominar as seguintes seções ao longo do tubo de corrente:

1. Seção à esquerda com velocidade V e pressão P.
2. Seção logo a frente do disco atuador com com velocidade V₂ e pressão P₂
3. Seção logo a frente do disco atuador com com velocidade V₃ e pressão P₃
4. Seção à direita com velocidade V+ΔV e pressão P.

Definindo um volume de controle iniciando a seção 1 e terminando na seção 2 delimitado pelo tubo de corrente e aplicando a equação da conservação da massa para fluído incompressível:

\( 0 = \int_{SC} \vec{V} \cdot d\vec{s} = -V A_1 + V_2 A\)

Assim

\( \rho V A_1 = \rho V_2 A = \dot{m}\)

Da mesma forma, entre as seções 2 e 3, e 3 e 4 as vazões serão as mesma.

Como a vazão é a mesma em 2 e 3 em uma mesma área, V₂ = V₃.

Força de tração promovida pela hélice

Para se calcular a força promovida pela variação da quantidade de movimento, aplica-se a segunda lei de Newton

\( F = \int_{SC} \rho \vec{V} (\vec{V} \cdot d\vec{s}) = \int_{1} \rho \vec{V} (\vec{V} \cdot d\vec{s}) + \int_{2} \rho \vec{V} (\vec{V} \cdot d\vec{s})\)

Como as velocidade tem apenas componentes na horizontal

\( Fx = \rho V (-V A1) + \rho V (V + \Delta V) A4 = \dot{m} (V+\Delta V - V) = \dot{m} \Delta V \)

Assim a tração da hélice depende da vazão mássica de fluído pela hélice e da variação da velocidade induzida no escoamento.

Analise da pressão

Um questionamento importante é saber qual a variação da pressão promovida pela hélice. Uma forma mais simples é assumindo que a tração se deve ao ΔP, assim:

\( Fx =  \dot{m} \Delta V = A \Delta P\)

assim

\( \Delta P = \frac{ \dot{m} \Delta V}{A} = \rho V_2 \Delta V\)

Apesar de ter uma expressão para a variação da pressão, ela depende de uma incógnita (V₂). Por isso precisamos de mais uma(s) equação(ões) que permita obter V₂ em função dos parâmetros do problema. Assim adota-se um volume de controle delimitado pelas seções 1 e 2 aplica-se a equação da energia:

\( Q-\dot{W} = \frac{d}{dt} \int_{VC} \rho e dV + \int_{SC} (\rho e + P) (\vec{V} \cdot d\vec{s})\)

Vale aqui ressaltar as hipoteses do problema

• Adiabático
• Inviscito
• Regime Permanente Estacionário
• Sem variações de temperatura
• Despresando efeito da gravidade
• Propriedades uniformes nas seções

Lembrando que esse volume de controle não contém a hélice, logo não tem trabalho de eixo, a equação da energia é simplificada para:

\( 0 = \int_1 \rho \frac{V^2}{2} + P (\vec{V} \cdot d\vec{s}) + \int_2 \rho \frac{V^2}{2} + P (\vec{V} \cdot d\vec{s}) \)

\( 0 = (\rho \frac{V^2}{2} + P) (-Q) + (\rho \frac{V_2^2}{2} + P_2) (Q) \)

Onde Q é a vazão volumétrica, que pela conservação da massa é a mesma para as duas seções, assim:

\( P + \rho \frac{V^2}{2} =  \rho \frac{V_2^2}{2} + P2 \)

Aplicando a mesma analise para um volume de controle para as seções 3 e 4:

\( P + \rho \frac{(V+\Delta V)^2}{2} =  \rho \frac{V_3^2}{2} + P_3 = \rho \frac{V_2^2}{2} + P_3 \)

Assim,

\( \Delta P = P_3 - P_2 = \frac{\rho}{2} {(V+\Delta V)^2 - V^2} = \frac{\rho}{2} (2V \Delta V + \Delta V^2)\)

Lembrando que a variação da pressão foi definida para a força de tração no começo desta seção e igualando a expressão acima:

\( \rho V_2 \Delta V = \frac{\rho}{2} (2V \Delta V + \Delta V^2) \)

Assim

\( V_2 = V + \frac{\Delta V}{2}\)

Um resultado interessante dessa analise é a conclusão de que metade da aceleração do escoamento ocorre antes da hélice e metade ocorre depois da hélice.

Analise de eficiência

A eficiência da hélice é analisada compararando a energia do trabalho de F_x pelo escoamento, na forma de energia cinética, e o trabalho de eixo aplicado na hélice. Para obter o trabalho de eixo, define-se um volume de controle entre as seções 2 e 3, assim:

\( \left| \dot{W}_e \right| = \int_{SC} \left( \rho \frac{V^2}{2} + P \right) (\vec{V} \cdot d \vec{s})\)

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\( \left|\dot{W}_e \right| = \left( \rho \frac{V_2^2}{2} + P_2 \right) (-Q) + \left( \rho \frac{V_3^2}{2} + P_3 \right) (Q)\)

Como V₂ e V₃ são iguais

\( \left|\dot{W}_e \right| = ( P_3 - P_2) Q = ( P_3 - P_2) A V_2 = Fx V_2\)

Reescrevendo em termos dos parâmetros do problema:

\( \left|\dot{W}_e \right| =\dot{m} V \Delta V \left[ 1 + \frac{\Delta V}{2V}\right]\)

O trabalho da fprça F_x é obtida por:

\( \left|\dot{W}_{F_x} \right| = F_x V = \dot{m} V \Delta V \)

Assim a eficiência resulta em:

\( \eta = \frac{\left|\dot{W}_{F_x} \right|}{\left|\dot{W}_{eixo} \right|} = \frac{1}{1+\frac{\Delta V}{2V}}\)