Hidrostatica - Força sobre superfície circular
Calculo da Força
Considere um tanque com um fluído de densidade constante. Na parede que tal tanque existe um furo de dreno de forma circular, com uma tampa, com raio R e seu centro a uma pronfudidade H da superfície da água. Deseja-se saber a força resultante que a tampa do dreno debe resistir.
Adotando um sistema de coordenadas com
- A origem se posiciona no meio do circulo que forma o furo
- O eixo x na horizontal e dividindo o circulo no meio
- O eixo y está na vertical orientado para cima
- O eixo z está normal à tampa.
Dessa forma a pressão em uma determinada posição da tampa é dada por
\( P = -\rho g (y-H)\)
Dessa forma o diferencial da força, resultado a pressão hidrostática aplicada em um diferencial da área da tampa, resulta em
\( d\vec{F}= P d\vec{s} = -\rho g (y - H) d\vec{s}\)
Como sabemos que o vetor ds é normal a superfície da tampa, daqui para frente o desenvolvimento irá ser aplicado apenas para componente em z da força. Também deve-se notar aqui que o vetor normal a tampa está direcionado para dentro do liquido, logo a força na tampa está no sentido oposto.
Ao integrar a equação acima, se obtem o seguinte resultado:
\( F_z = \int dF = \rho g \int_S y-H ds\)
Para facilitar vamos separar a soma do integral em duas integrais
\( F_z = \int dF = \rho g \int_S y ds - \rho g \int_S H ds\)
Agora vamos calcular as integrais separadamente. A integral do termo H é de fácil solução
\(-\rho g \int_S H ds = -\rho g H \int_S ds = -\rho g H \pi R^2 \)
Ou seja, a pressão hidrostática no meio da tampa vezes a área da tampa. Agora vamos resolver a segunda integral. Como a integral é aplicada em um domínio circular, vamos aqui aplicar a geometria do problema nos limites de integração. Como a origem do sistema de coordenadas está definida no centro da circunferência, a equação que descreve o circulo é:
\( x^2 + y^2 = R^2 -> x = \pm \sqrt{ R^2 - y^2}\)
Na equação acima, isolou-se x pois vamos aplicar a integração no eixo x primeiro, mantendo y constante. Dessa forma a integral de superfície fica escrita como uma integral dupla, da forma:
\( -\rho g \int_S y ds = -\rho g \int_{-R}^R y \int_{-\sqrt{R^2 - y^2}}^{\sqrt{R^2 - y^2}} dx dy \)
Que resulta na integral
\( -\rho g \int_S y ds = -\rho g \int_{-R}^R 2 y \sqrt{R^2 - y^2} dy \)
Tal integral pode ser resolvida pela seguinte substituição de variáveis
\( u = R^2 - y^2 -> du = -2ydy \)
O que resulta em uma integral, dentro dos limites de integração definidos, com valor 0. Logo a força resultante da pressão hidrostática é
\( F_z = -\rho g H \pi R^2 \)
E, por consequência, a pressão média na tampa é
\( P_{média} = \rho g H\)
que é a pressão hidrostática no centro da tampa.
Cálculo do Torque em torno do eixo x
Vamos aqui calcular o torque com o mesmo processo feito para a força, definindo o diferencial e integral. Neste caso, em vez de aplicar o produto vetorial do braço da força com o vetor força, vamos aplicar diretamente o produto da coordenada y do diferencial da força vezes a intensidade do diferencial. Aqui podemos fazer isso porque a força de pressão é normal à nossa superfície, logo, normal ao plano xy.
Dessa forma:
\( T = \int dT = -\int_S P y ds = \int_S \rho g (y-H) y ds\)
Aqui vamos novamente separar a soma no integrando em duas integrais. Logo
\( T = \rho g \int_S y^2 ds - \rho g H \int_S y ds \)
O segundo termo da equação acima já apareceu na integral da forma, e sabemos que seu valor é zero. Agora só resta resolver o primeiro termo. Aplicando novamente os limites de integração em x
\( T = \rho g \int_S y^2 ds = \rho g \int_{-R}^R y^2 \int_{-\sqrt{R^2 - y^2}}^{\sqrt{R^2 - y^2}} dx dy\)
Logo o torque pode ser escrito como
\( T = \rho g \int_{-R}^R 2 y^2 \sqrt{R^2 - y^2} dy\)
A solução de tal integral é
\( T = \rho g \pi R^4/8 \)
Aqui vale notar que a profundidade do furo não afeta o torque em torno do eixo x, apenas o raio do furo afeta. Isso ocorre pois porque a distribuição de força na vertical pode ser dividido em um valor médio e uma variação linear, simétrica com o eixo x. A força média tem torque resultante zero, já a distribuição linear de força não, pois esses formam binários de força.
Centro de Pressão
O centro de pressão é o ponto de aplicação da força, ou seja, é o ponto onde uma força de mesma intensidade e sentido oposto deve ser aplicada para que o torque seja equilibrado. Dessa forma, para calcular a posição y do centro de pressão, vamos aplicar a igualdade
\( y_{cp} F_z = T \)
Logo
\( y_{cp} = T/F_z = \frac{\rho g \pi R^4/8}{ -\rho g H \pi R^2} = -\frac{ R^2}{8 H }\)
Logo o centro de pressão está localizado logo abaixo do eixo x e quanto mais profunda a posição do furo, mais próximo do eixo x fica o centro de pressão. Isso ocorre porque a força aumenta com a profundidade, enquanto o torque não é afetado. Dessa forma o braço da forma deve diminuir para manter o mesmo torque.
Como a força é direcionada para fora do tanque e o CP fica abaixo do eixo x, se a tampa for pivotada no meio da circunferência, a tendencia da tampa é girar com a parte inferior saindo do tanque.