Campo de velocidades - Exemplo de trajetória
Problema
Considere o seguinte campo vetorial:
\( \vec{V} = (1+0,5t)x\hat{i} + y\hat{j} \)
Calcule a expressão da trajetória para uma partícula que passou pelo ponto (1,1) em t=0.
Resolução
Vamos primeiro definir a trajetória da partícula, ainda não conhecida, por
\( \vec{x_p} = x_p(t) \hat{i} + y_p(t) \hat{j} \)
Sabendo que a partícula está se deslocando no campo vetorial, a sua velocidade será definida pela sua posição nesse mesmo campo. Logo, podemos escrever sua velocidade da forma
\( \vec{V_p} = u_p(t) \hat{i} + v_p(t) \hat{j} = (1+0,5t)x_p \hat{i} + y_p \hat{j}\)
Como a velocidade da partícula é a derivada temporal de sua posição, temos
\( \frac{dx_p}{dt} \hat{i} + \frac{dy_p}{dt} \hat{j} = (1+0,5t)x_p \hat{i} + y_p \hat{j} \)
O que nos resulta em duas equações diferenciais, uma para cada direção.
Aqui vale destacar um aspecto conceitual do problema. A velocidade fornecida pelo enunciado não é a velocidade da partícula e sim do campo vetorial. Por isso o calculo da trajetória da partícula não pode ser feita pela integração temporal da velocidade. Isso resultaria em uma velocidade que depende de posições arbitrárias da partícula, o que está em desacordo com a definição da trajetória, que será única para a partícula.
Em contra partida, a integração temporal será obtida pela solução das equações diferenciais obtidas da definição da velocidade da partícula.
As integrações das equações diferenciais resultam em
\( x_p(t) = C_x e^{t + t^2/4}\)
\( y_p(t) = C_y e^t\)
Nessas equações, Cx e Cy são resultado das constantes de integração e seus valores são obtidos pelas condições iniciais do problema, ou seja, a partícula passou pelo ponto (1,1) no tempo 0s. Logo tais constante tem valor 1.
Para obter a equação da trajetória basta isolar a variável temporal em uma das equações e substituir na outra.