Função corrente e vazão entre linhas de corrente

Seja um campo de velocidades definida por:

\( \vec V = u \hat i + v \hat j = Ax \hat i - Ay \hat j\)

Calculo da função corrente

A função corrente pode ser obtida utilizando a definição:

\( u = \frac{\partial \Psi}{\partial y}  ;  v = - \frac{\partial \Psi}{\partial x} \)

Dessa forma aplica-se a integral nas duas componentes de velocidade resultando em duas funções candidatas a solução:

\( \Psi_1 = Axy + f(x)  ; \Psi_2 = Axy + g( y ) \)

Independente da componente utilizada para o calculo da função corrente, a função corrente deve ser a mesma, logo igualando as duas funções obtem-se

\( f(x) = g( y ) \)

o que só ocorre quando ambas são nulas. (Aqui a rigor isso seria válido para constantes. Mas essa constante não afeta o campo de velocidade nem a informação de vazão).

Logo a função corrente desse campo de velocidades é

\( \Psi = Axy \)

Calculo de vazão

Calcular a vazão entre as linhas de corrente que passam pelos pontos:

\( P_a = (1,1)  ;  P_b = (2,2) \)

Duas são as estratégias: uma é pela diferença entre as funções corrente e a outra pela integração da velocidade na área.

Pela diferença entre os valores da função corrente:

\( Q/w = \Psi(P_b) - \Psi(P_a) = A.2.2 - A.1.1 = 3A \)

onde w é o comprimento do plano na direção z

Aplicando a estratégia pela integração da velocidade na área que une os pontos a e b deve-se definir a função que representa a superfície. Para simplificar, adota-se que a superfície é plana, logo sua projeção no plano xy é uma reta que uni os pontos. Logo a integral fica:

\( Q = \int_S \vec V \cdot d \vec s \)

onde a velocidade é

\( \vec V = u \hat i + v \hat j = Ax \hat i -Ay \hat j \)

e a área adotada é

\( d\vec s = w (-dy \hat i + dx \hat j) \)

onde a reta que une os pontos é definido por

\( \vec r = P_a + (P_b - P_a) t = (1,1) + (1,1)t ; d \vec r = (1,1) dt \)

Logo a integral fica:

\( Q = \int_S \vec V \cdot d \vec s = w \int_S -udy + vdx = w \int_S -Axdy - Aydx \)

Para resolver essa integral deve-se aplicar o caminho para corretamente aplicar a integral de linha, logo x e y são substituídos pelas componentes do vetor r e e dx e dy por dt

\( Q/w = -2A\int_S (1+t)dt = -2A \left[ t + \frac{t^2}{2} \right]^1_0 = -2A 1,5 = -3A \)

O sinal negativo significa que a vazão está no sentido contrário ao vetor superfície definido na resolução.

Provando que a vazão é a diferença entre os valores da função corrente entre os pontos.

Partindo da integral

\( Q = \int_S \vec V \cdot d \vec s = w \int_S -udy + vdx \)

e utilizando a definição da função corrente em relação às componentes da velocidade:

\( Q = \int_S \vec V \cdot d \vec s = w \int_S -\frac{\partial \Psi}{\partial y}dy - \frac{\partial \Psi}{\partial x}dx \)

O integrando pode ser reescrito da forma

\( Q/w = - \int_S \nabla \Psi \cdot d\vec r \)

Pelo teorema fundamental para integrais de linha

\( Q/w = - \int_S \nabla \Psi \cdot d\vec r = \Psi(P_b) - \Psi(P_a) = \Psi_b - \Psi_a\)

Última atualização: Tuesday, 3 May 2016, 10:59