Função corrente e vazão entre linhas de corrente
Seja um campo de velocidades definida por:
\( \vec V = u \hat i + v \hat j = Ax \hat i - Ay \hat j\)
Calculo da função corrente
A função corrente pode ser obtida utilizando a definição:
\( u = \frac{\partial \Psi}{\partial y} ; v = - \frac{\partial \Psi}{\partial x} \)
Dessa forma aplica-se a integral nas duas componentes de velocidade resultando em duas funções candidatas a solução:
\( \Psi_1 = Axy + f(x) ; \Psi_2 = Axy + g( y ) \)
Independente da componente utilizada para o calculo da função corrente, a função corrente deve ser a mesma, logo igualando as duas funções obtem-se
\( f(x) = g( y ) \)
o que só ocorre quando ambas são nulas. (Aqui a rigor isso seria válido para constantes. Mas essa constante não afeta o campo de velocidade nem a informação de vazão).
Logo a função corrente desse campo de velocidades é
\( \Psi = Axy \)
Calculo de vazão
Calcular a vazão entre as linhas de corrente que passam pelos pontos:
\( P_a = (1,1) ; P_b = (2,2) \)
Duas são as estratégias: uma é pela diferença entre as funções corrente e a outra pela integração da velocidade na área.
Pela diferença entre os valores da função corrente:
\( Q/w = \Psi(P_b) - \Psi(P_a) = A.2.2 - A.1.1 = 3A \)
onde w é o comprimento do plano na direção z
Aplicando a estratégia pela integração da velocidade na área que une os pontos a e b deve-se definir a função que representa a superfície. Para simplificar, adota-se que a superfície é plana, logo sua projeção no plano xy é uma reta que uni os pontos. Logo a integral fica:
\( Q = \int_S \vec V \cdot d \vec s \)
onde a velocidade é
\( \vec V = u \hat i + v \hat j = Ax \hat i -Ay \hat j \)
e a área adotada é
\( d\vec s = w (-dy \hat i + dx \hat j) \)
onde a reta que une os pontos é definido por
\( \vec r = P_a + (P_b - P_a) t = (1,1) + (1,1)t ; d \vec r = (1,1) dt \)
Logo a integral fica:
\( Q = \int_S \vec V \cdot d \vec s = w \int_S -udy + vdx = w \int_S -Axdy - Aydx \)
Para resolver essa integral deve-se aplicar o caminho para corretamente aplicar a integral de linha, logo x e y são substituídos pelas componentes do vetor r e e dx e dy por dt
\( Q/w = -2A\int_S (1+t)dt = -2A \left[ t + \frac{t^2}{2} \right]^1_0 = -2A 1,5 = -3A \)
O sinal negativo significa que a vazão está no sentido contrário ao vetor superfície definido na resolução.
Provando que a vazão é a diferença entre os valores da função corrente entre os pontos.
Partindo da integral
\( Q = \int_S \vec V \cdot d \vec s = w \int_S -udy + vdx \)
e utilizando a definição da função corrente em relação às componentes da velocidade:
\( Q = \int_S \vec V \cdot d \vec s = w \int_S -\frac{\partial \Psi}{\partial y}dy - \frac{\partial \Psi}{\partial x}dx \)
O integrando pode ser reescrito da forma
\( Q/w = - \int_S \nabla \Psi \cdot d\vec r \)
Pelo teorema fundamental para integrais de linha
\( Q/w = - \int_S \nabla \Psi \cdot d\vec r = \Psi(P_b) - \Psi(P_a) = \Psi_b - \Psi_a\)