Eq. Diferencial da Quantidade de Movimento
O objetivo do desenvolvimento a seguir é provar que a equação da quantidade de movimento para um elemento de fluído incompressível com viscosidade constante, na direção x, é
\( \rho \frac{Du}{Dt} = \rho g_x - \frac{\partial P}{\partial x} + \mu \left[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right]\)
Equação original
A componente em x da equação da quantidade de movimento geral para fluido newtoniano é dada por
\( \rho \frac{Du}{Dt} = \rho g_x - \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial x} \left[ \mu \left( 2 \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{2}{3} \nabla \cdot \vec{V} \right)\right] + \frac{\partial}{\partial y} \left[ \mu \left( \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} \right)\right] + \frac{\partial}{\partial z} \left[ \mu \left( \frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial z} \right) \right] \)
Imposição da condição de incompressibilidade
Para que o escoamento seja incompressível, no caso estacionário, pode-se aplicar o divergente zero, logo
\( \nabla \cdot \vec{V} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0\)
Analisando na direção x, pode-se separar o problema em parcelas menores para facilitar a explicação. Analisando a derivada em x o divergente aparece explicitamente, logo, aplicando a incompressibilidade e viscosidade constante, essa derivada fica
\( 2\mu\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)
Já as derivadas em x e y não possuem o divergente de forma explicita, mas uma reorganização das derivadas permite utilizar o divergente nulo para simplificar a expressão para a quantidade de movimento. Logo a derivada em y pode ser reorganizada da forma
\( \frac{\partial}{\partial y} \left[ \mu \left( \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} \right)\right] = \mu \left[ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial v}{\partial y} \right) \right]\)
A derivada e v em y aparece no divergente e por isso pode ser substituído por
\( \frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{\partial u}{\partial x} -\frac{\partial w}{\partial z} \)
Logo a derivada em y fica
\( \mu \left[ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial v}{\partial y} \right) \right] = \mu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \mu \frac{\partial}{\partial x} \left( -\frac{\partial u}{\partial x} -\frac{\partial w}{\partial z} \right) \)
a derivada em z fica
\( \frac{\partial}{\partial z} \left[ \mu \left( \frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial z} \right) \right] = \mu \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} + \mu \frac{\partial}{\partial x}\left( -\frac{\partial u}{\partial x} -\frac{\partial v}{\partial y} \right) \)
Somando esses termos multiplicados por \mu, pode-se organizar como
\( \mu \left[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right] + \mu \frac{\partial }{\partial x} \left[ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} \right]\)
onde o segundo termo é o divergente resultando
\( \mu \left[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right] \)
E substituindo na equação da quantidade de movimento, resulta em
\( \rho \frac{Du}{Dt} = \rho g_x - \frac{\partial P}{\partial x} + \mu \left[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right]\)