Flutuação em colchão de ar
Vários dispositivos utilizam o conceito de colchão de ar para fazer objetos flutuarem acima de uma superfície sólida e com isso reduzir muito a fricção do movimento de tal objeto. Um sistema de entretenimento que utiliza esse conceito é chamado de AirHockey. Uma montagem comum desse jogo é apresentado na figura.
O jogo é desempenhado por um disco que corre sobre uma mesa. Tal mesa consiste de uma placa cheia de furos, por onde é injetado ar a uma velocidade uniforme. Essa injeção de ar faz com que a pressão abaixo do disco seja maior que a pressão atmosférica acima, levitando o disco.
Para prever a velocidade v0 do ar, que passa pela placa, necessária para flutuar o disco deve assumir algumas hipóteses:
- Incompressível
- Inviscito
- Estacinário
Uma hipótese de simetria pode ser aplicada. Pensando que o disco é geometricamente axissimétrico, é razoável que o campo de escoamento no colchão de ar também seja. Por consequência pode-se-á usar as equações em coordenadas cilíndricas e se pode considerar a componente horizontal da velocidade do colchão de ar homogênea nas superfícies cilíndricas (raio constante). Logo espera-se que tal componente seja uma função do raio apenas.
Obtenção da componente horizontal
O primeiro passo para saber a força vertical que o colchão de ar aplica no disco é aplicar a equação integral para volume de controle. Para isso um volume de controle cilíndrico, com altura h e com eixo coincidente com o eixo do disco, é adotado. Dessa forma
\( 0 = \frac{\partial}{\partial t} \int_{VC} \rho dV + \int_{SC} \rho (\vec V \cdot d \vec s)\)
Aplicando as hipóteses e sabendo que o ar entra pela face inferior (BASE) e sai pela superfície cilíndrica (CIL), obtem-se
\( 0 = -\int_{BASE} \rho v_0 ds + \int_{CIL} \rho u(r) ds = -\rho v_0 \pi r^2 + \int_0^h \int_0^{2\pi} \rho u(r) r d\theta dh\)
\( 0 = -\rho v_0 \pi r^2 + \rho u(r) h 2\pi r\)
e isolando u(r)
\( u(r) = \frac{v_0 r}{2 h}\)
Obtendo a expressão para a pressão
A expressão que relaciona a pressão e a velocidade para o nosso problema é a equação da quantidade de movimento. Nela o gradiente de pressão no elemento de fluido age como uma força externa impondo uma aceleração no fluído. A equação em coordenadas cilíndricas, na direção radial, é representada por
\( -\frac{1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial r} = u(r) \frac{\partial u(r)}{\partial r}\)
Substituindo a expressão para a componente u(r) na equação da quantidade de movimento:
\( \frac{\partial P}{\partial r} = \left( \frac{v_0}{2h}\right)^2r\)
E integrando, aplicando a condição de contorno de pressão atmosférica na borda do disco (r=R)
\( P = P_a + \frac{\rho}{2} \left( \frac{v_0}{2 h} \right)^2 [R^2 - r^2] \)
Obtendo a pressão utilizando a equação de Bernoulli
Em vez de aplicar a equação da quantidade de movimento e resolver a equação diferencial, vamos aqui considerar a linha de corrente que corre do centro da base do cilindro até a borda em na linha radial. Nessa linha sabemos que a pressão total será uma constante e sabemos a velocidade ao longo da linha e a pressão na borda do disco. Logo
\( P(r) + \frac{\rho u(r)^2}{2} = P_a + \frac{\rho u(R)^2}{2}\)
e substituindo a expressão para u(r)
\( P(r) + \frac{\rho \left(\frac{v_0 r}{2 h} \right)^2}{2} = P_a + \frac{\rho \left(\frac{v_0 R}{2 h} \right)^2}{2}\)
e isolando P(r) obtemos
\( P(r) = P_a + \frac{\rho}{2} \left( \frac{v_0}{2 h}\right)^2 [R^2 - r^2]\)
O mesmo resultado obtido com a equação da quantidade de movimento.
Força de flutuação
Agora apenas resta integrar a pressão na área para obter a força de flutuação que o colchão de ar aplica no disco. Logo
\( F_y = -\int_{DISCO} P d \vec s\)
Na direção vertical, a pressão aplicada na lateral do disco tem componente nula, logo aplica-se a integral apenas na base e no todo do disco.
\( F_y = -\int_{TOPO} P_a ds + \int_{BASE} P ds = -P_a \pi R^2 + \int_{BASE} P_a + \frac{\rho}{2} \left( \frac{v_0}{2 h}\right)^2 [R^2 - r^2] ds\)
Como a pressão atmosférica aparece nos dois termos, simplificamos a equação para
\( F_y = \int_{BASE} \frac{\rho}{2} \left( \frac{v_0}{2 h}\right)^2 [R^2 - r^2] ds\)
Considerando a simetria do problema, onde as linhas de mesmo raio possuem mesma pressão e tirando da integral os parâmetros constantes, obtemos
\( F_y = \frac{\rho}{2} \left( \frac{v_0}{2 h}\right)^2 \int_0^R [R^2 - r^2] 2 \pi r dr\)
que resulta em
\( F_y = \rho \pi \left( \frac{v_0 R^2}{4 h}\right)^2 \)
Examinando a expressão pode-se concluir que a força é proporcional a:
- Pressão dinâmica do ar injetado
- a área do disco
- ao quadrado da razão R/h