Força de sustentação de um vórtice
Neste exercício deseja-se estudar a força de sustentação que aparece em quando um vórtice está imerso em um escoamento uniforme. A força de sustentação é a força na direção normal ao escoamento uniforme.
Para desenvolver o calculo de tal força modela-se o campo de velocidade pelo escoamento potencial e aplica-se o conceito de volume de controle para quantidade de movimento.
Primeiro define-se o campo de velocidade pela sobreposição das soluções: escoamento uniforme e vórtice.
Escoamento uniforme
O campo de velocidade induzido pelo escoamento uniforme é definido por
\(\vec V_{uf} = U_0 \hat i\)
Vórtice
O campo de velocidade induzido pelo vórtice é definidor por
\(\vec V_v = -v_\theta sin \theta \hat i + v_\theta cos \theta \hat j\)
Mas sabendo que a velocidade tangencial é definida por
\(v_\theta = -\frac{K}{2 \pi r}\)
Escrevendo as coordenadas radiais e tangenciais em coordenadas cartesianas, a velocidade induzida pelo vórtice fica:
\( \vec V_v = \frac{K}{2 \pi } \frac{y}{x^2 + y^2} \hat i - \frac{K}{2 \pi} \frac{x}{x^2 + y^2} \hat j\)
Campo de Velocidade
Pelo teorema da sobreposição das soluções, o campo de velocidades final é a soma dos campos de velocidade induzida por cada escoamento elementar.
\( \vec V = \vec V_v + \vec V_{uf} = U_0 + \frac{K}{2 \pi } \frac{y}{x^2 + y^2} \hat i - \frac{K}{2 \pi} \frac{x}{x^2 + y^2} \hat j\)
Esse campo de velocidades pode ser usado para calcular a força externa aplicada no escoamento, que por ação-reação é oposta a força aplicada no vórtice.
Volume de Controle
Para melhor aplicar a lei de conservação da quantidade de movimento, define-se um volume de controle que acompanha as linhas de corrente nas fronteiras superior e inferior e na frente e atrás as fronteiras são linhas verticais. Como o escoamento é bidimensional, a integral na superfície será uma constante na direção z, saindo do plano e a dimensão do volume será considerada como w.
Dessa forma o volume de controle fica da forma da figura:
Nas fronteiras onde o volume de controle acompanha as linhas de corrente, a vazão de fluido é zero, logo a integral da superfície de controle é nula. Logo a integral será não nula nas fronteiras frontal e traseira. Para facilitar o estudo, explora-se a simetria do problema em relação ao eixo x=0. Considerando que as fronteiras em questão estão em -x0 e x0, calcula-se primeiro o produto escalar que define a vazão. Na fronteira 1 definida para -x0 :
\( \vec V \cdot d\vec s |_{-x_0} = \left[ U_0 + \frac{K}{2 \pi } \frac{y}{x_0^2 + y^2} \right] w (-dy) \)
Na fronteira x0:
\( \vec V \cdot d\vec s |_{x_0}= \left[ U_0 + \frac{K}{2 \pi } \frac{y}{x_0^2 + y^2} \right] w dy \)
Logo nota-se que as vazões são iguais mas com sinais trocados. Por simplicidade então escreve-se:
\( \vec V \cdot d\vec s |_{-x_0} = -\vec V \cdot d\vec s |_{x_0} = -Q dy\)
Aplicando a equação integral de volume de controle para a conservação da quantidade de movimento:
\( \vec F = \rho \int_s \vec V (\vec V \cdot d\vec s) \)
Separando os domínios de integração:
\( \vec F = \rho \int_{x_0} \vec V Q dy - \rho \int_{-x_0} \vec V Q dy\)
Aplicando a integral na direção horizontal e substituindo a expressão para a componente horizontal da velocidade:
\( F_x = \rho \int_{y_1}^{y_2} \left[ U_0 + \frac{K}{2 \pi } \frac{y}{x_0^2 + y^2} \right] Q dy - \rho \int_{y_1}^{y_2} \left[ U_0 + \frac{K}{2 \pi } \frac{y}{x_0^2 + y^2} \right] Q dy = 0\)
Desse calculo nota-se que do vórtice potencial não resulta nenhuma força na direção do escoamento uniforme.
Calculando a componente da força na direção normal ao escoamento uniforme, onde deve aparecer a força de sustentação:
\( F_y = \rho \int_{y_1}^{y_2} - \frac{K}{2 \pi} \frac{x_0}{x_0^2 + y^2} Q dy - \rho \int_{y_1}^{y_2} \frac{K}{2 \pi} \frac{x_0}{x_0^2 + y^2} Q dy = - \frac{K x_0 }{\pi} \rho \int_{y_1}^{y_2} \frac{Q}{x_0^2 + y^2} dy \)
E substituindo a expressão para Q:
\( F_y = - \frac{K x_0 }{\pi} \rho \int_{y_1}^{y_2} \left[ U_0 + \frac{K}{2 \pi } \frac{y}{x_0^2 + y^2} \right] w \frac{1}{x_0^2 + y^2} dy \)
Que pode ser separado em duas integrais:
\( F_y = - \frac{K x_0 w \rho}{\pi} \left[ \int_{y_1}^{y_2} \frac{U_0}{x_0^2 + y^2} dy + \int_{y_1}^{y_2} \frac{K}{2 \pi } \frac{y}{(x_0^2 + y^2)^2} dy \right] \)
É mais conveniente analisar as integrais separadamente. Considerando, por simplicidade, y2=-y1=y0 e avaliando a primeira, resulta:
\( \int_{-y_0}^{y_0} \frac{U_0}{x_0^2 + y^2} dy = \frac{U_0}{x_0} \left[ \arctan\left(\frac{y_0}{x_0} \right) - \arctan\left(\frac{-y_0}{x_0} \right) \right] = \frac{U_0}{x_0} 2 atan\left(\frac{y_0}{x_0} \right)\)
A avaliação da segunda integral resulta:
\( \int_{-y_0}^{y_0} \frac{K}{2 \pi } \frac{y}{(x_0^2 + y^2)^2} dy = -\left[ \frac{K}{2 \pi } \frac{y}{2(x_0^2 + y^2)} \right]_{-y_0}^{y_0} = 0 \)
Logo apenas a primeira integral contribui para a força vertical. Como o arco tangente é uma função assintótica, aplica-se p limite quando y1 vai a infinito:
\( \lim_{y_0 \to \infty} \frac{U_0}{x_0} 2 \arctan\left(\frac{y_0}{x_0} \right) = \frac{U_0}{x_0} \pi \)
Dessa forma, a componente vertical da força por unidade de profundidade fica:
\(\frac{F_y}{w} = - \rho U_0 K\)
e a força no vórtice, a de sustentação
\(Fsust/w = \rho U_0 K \)
Essa relação é conhecida como teorema de Kutta-Joukowski e relaciona a circulação causada por um objeto com a força de sustentação.